Регистрация Вход
Город
Город
Город
Stepan-studio.ru

Stepan-studio.ru

Оригинальная музыка к спектаклям и мюзиклам. Качественная звукорежиссура и стильные аранжировки. Напишите: vk.com/stepan_studio или stepka68@gmail.com
Подробнее
TAGREE digital-агентство

TAGREE digital-агентство

Крутые сайты и веб-сервисы. Комплексное продвижение и поддержка проектов. Позвоните: +7-499-350-0730 или напишите нам: hi@tagree.ru.
Подробнее

Фракталы.





Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

2.



3.



Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов.
Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.


Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.


Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.


Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"

4.



Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

7.



8.



Алгебраические фракталы.

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоватся терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.


Известно, что нелинейные динамические системы обладают несолькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса).
Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

9.



 

Стохастические фракталы.
Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря

11.



12.



13.



Системы итерируемых функций

Метод "Систем Итерируемых Функций" (Iterated Functions System - IFS) появился в середине 80-х годов как простое средство получения фрактальных структур.

IFS представляет собой систему функций из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое. Наиболее простая IFS состоит из аффинных преобразований плоскости:

X' = A*X + B*Y + C
Y' = D*X + E*Y + F


В 1988 году известные американские специалисты в теории динамических систем и эргодической теории Барнсли и Слоан предложили некоторые идеи, основанные на соображениях теории динамических систем, для сжатия и хранения графической информации. Они назвали свой метод методом фрактального сжатия информации. Происхождение названия связано с тем, что геометрические образы, возникающие в этом методе, обычно имеют фрактальную природу в смысле Мандельброта.


На основании этих идей Барнсли и Слоан создали алгоритм, который, по их утверждению, позволит сжимать информацию в 500-1000 раз.  Вкратце метод можно описать следующим образом. Изображение кодируется несколькими простыми преобразованиями (в нашем случае аффинными), т.е. коэффициентами этих преобразований (в нашем случае A,B,C,D,E,F).

14.




Для построения IFS применяют кроме аффинных и другие классы простых геометрических преобразований, которые задаются небольшим числом параметров. Например, проективные: 

X' = (A1*X + B1*Y + C1) / (D1*X + E1*Y + F1)
Y' = (A2*X + B2*Y + C2) / (D2*X + E2*Y + F2)


или квадратичные:
 X' = A1*X*X + B1*X*Y + C1*Y*Y + D1*X + E1*Y + F1
Y' = A2*X*X + B2*X*Y + C2*Y*Y + D2*X + E2*Y + F2

преобразования на плоскости.

16.



17.



18.



19.



20.



21.



22.



23.



24.



25.



26.



27.



28.



29.



30.



31.



32.



33.



 





15.



Например, закодировав какое-то изображение двумя аффинными преобразованиями, мы однозначно определяем его с помощью 12-ти коэффициентов. Если теперь задаться какой-либо начальной точкой (например X=0 Y=0) и запустить итерационный процесс, то мы после первой итерации получим две точки, после второй - четыре, после третьей - восемь и т.д. Через несколько десятков итераций совокупность полученных точек будет описывать закодированное изображение. Но проблема состоит в том, что очень трудно найти коэффициенты IFS, которая кодировала бы произвольное изображение.




10.



5.



6.





Источник: http://www.codenet.ru/progr/fract/ http://www.google.ru/search

Поделитесь с друзьями:

 

Комментарии:

Интересный пост, познавательный и возбуждающий любопытство. хочется вспомнить университетский курс математики ))

Ответить

shrrr

Красота математики в природе. Бесконечное в конечном.

Ответить


Tina

Математика- красивая наука...

Ответить

Такие фракталы можно наблюдать на закате солнца, они как паутинка и всеми цветами радуги, передвигаются. Красиво.

Ответить

Помнится, столкнулся с фрактальным сжатием еще в конце 80-х годов - один из практикантов у нас курсовую по ним делал, а мне интересно стало. Была написана почти работающая программка (глюковатая и с ограничениями - некогда было отлаживать), сжатие зависело от размера исходной картинки (чем больше, тем больше сжатие) и метода упаковки - реально получалось, что из исходной картинки любого размера (!) получался выходной файл почти фиксированного размера в несколько килобайт (в нем - только правила преобразования). В принципе, этот же принцип можно было приспособить для сжатия любой информации - не только картинок.
Единственное, что убило идею - требуемое машинное время. Фрактальная упаковка даже небольшой картинки (256х256@8бит) на тогдашнем компе (i386) требовала несколько часов работы (обратно распаковывалось за доли секунды), и если не глючу, то время квадратично росло с размером исходного файла. Не исключено, что на нынешних процессорах это вполне реализуемо в приемлемое время, и вполне возможно, уже и делается.

Ответить

Mus musculus

Так и не получилось поумнеть. Блондинку отвлекли картинки. Рисунки такие фантастические, что не получается сосредоточиться на тексте.

Ответить

 
Автор статьи запретил комментирование незарегистрированными пользователями. Пожалуйста, зарегистрируйтесь или авторизуйтесь на сайте, чтобы иметь возможность комментировать.